✔ Tổng hợp các dạng toán về bất phương trình mũ, bất phương trình logarit và cách giải từng dạng toán một cách chi tiết nhất. Mảng kiến thức thuộc chương trình toán 12 và xuất hiện nhiều trong đề thi THPT Quốc Gia môn toán.
Cách giải bất phương trình mũ
#1. Đưa về cùng cơ số
#2. Đặt ẩn phụ
αa2f(x) + βaf(x) + λ = 0. Đặt t = a f(x), (t > 0)
#3. Phương pháp logarit hóa
Cách giải bất phương trình logarit
#1. Đưa về cùng cơ số
#2. Phương pháp mũ hóa
Phân loại và phương pháp giải bài tập
Dạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Bất phương trình mũ cơ bản
– Bất phương trình hoặc
– Bất phương trình
– Bất phương trình
Bất phương trình logarit cơ bản
– Bất phương trình hoặc
– Bất phương trình
– Bất phương trình
Bài tập
Bài tập 1. Cho bất phương trình log7 (x2 + 2x + 2) + 1 > log7 (x2 + 6x + 5 + m). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng (1; 3)?
A. 35
B. 36
C. 34
D. 33
Lời giải
Chọn C
BPT
, với f(x) = –x2 – 6x – 5; g(x) = 6x2 + 8x + 9
Xét sự biến thiên của hai hàm số f(x) và g(x)
f’(x) = –2x – 6 < 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ f(x) luôn nghịch biến trên khoảng (1; 3)
g’(x) = 12x + 8 > 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ g(x) luôn đồng biến trên khoảng (1; 3)
Khi đó –12 < m < 23
Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {–11; –10; …; 22}
Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 2. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log2 (7x2 + 7) ≥ log2 (mx2 + 4x + m) có tập nghiệm là ℝ. Tổng các phần tử của S là
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
Lời giải
Chọn C
BPT có tập nghiệm ℝ
, ∀ x ∈ ℝ
Ta có:
Ta có:
Do đó
Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {3; 4; 5}
Vậy S = 3 + 4 + 5 = 12.
Bài tập 3. Bất phương trình có tập nghiệm là . Hỏi M = a + b bằng?
A. M = 12
B. M = 8
C. M = 9
D. M = 10
Lời giải
Chọn D
Ta có
Nên ⇒ M = a + b = 1 + 9 = 10
Bài tập 4. Tập nghiệm của bất phương trình là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
ĐKXĐ:
Bất phương trình
Kết hợp điều kiện ta được:
Bài tập 5. Bất phương trình ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
A.
B.
C. 0 < a < 2
D. –2 < a < 2
Lời giải
Chọn D
ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x
Bài tập 6. Bất phương trình (3x – 1)(x2 + 3x – 4) có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6?
A. 9
B. 5
C. 7
D. Vô số
Lời giải
Chọn C
Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ hơn 6 ta thấy các giá trị thỏa là {–3; –2; –1; 2; 3; 4; 5}
Bài tập 7. Nghiệm của bất phương trình là
A.
B.
C. (–1; 0)
D.
Lời giải
Chọn D
Do nên
Bài tập 8. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. 1
B. 0
C. 9
D. 11
Lời giải
Chọn C
Vậy tập tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.
Bài tập 9. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình logm (2x2 + x + 3) ≤ logm (3x2 – x) với m là tham số thực dương khác 1, biết x = 1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
A. (–2; 0) ∪
B. [–1; 0] ∪
C. S = (–1; 0) ∪ (1; 3]
D. S = [–1; 0) ∪
Lời giải
Chọn D
Do x = 1 là nghiệm nên ta có logm 6 ≤ logm 2 ⇒ 0 < m < 1.
Bất phương trình tương đương với
Vậy S = [–1; 0) ∪
Bài tập 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 1 + log5 (x2 + 1) ≥ log5 (mx2 + 4x + m) thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ.
A. –1 < m ≤ 0
B. –1 < m < 0
C. 2 < m ≤ 3
D. 2 < m < 3
Lời giải
Chọn C
Ta có:
1 + log5 (x2 + 1) ≥ log5 (mx2 + 4x + m) ⇔ log5 (5x2 + 5) ≥ log5 (mx2 + 4x + m)
Để bất phương trình đã cho thỏa mãn với x ∈ ℝ điều kiện là cả (1) và (2) đều thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ.
Điều kiện là
Bài tập 11. Bất phương trình ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:
A.
B.
C. 0 < a < 2
D. –2 < a < 2
Lời giải
Chọn D
Ta có ln (2x2 + 3) > ln (x2 + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x
Bài tập 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Mà m là số nguyên không dương nên m ∈ {–1; 0}. Suy ra S = {–1; 0}.
Vậy số tập con của S bằng 22 = 4 .
Chú ý:
Các tập con của S là: ∅, {–1}, {0}, S
Một tập hợp có n phần tử thì số tập con của nó là n2 .
Bài tập 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log0,02 (log2 (3x +1)) > log0,02 m có nghiệm với mọi x ∈ (–∞; 0)
A. m > 9
B. m < 2
C. 0 < m < 1
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn D
log0,02 (log2 (3x +1)) > log0,02 m
TXĐ: D = ℝ
ĐK tham số m: m > 0
Ta có: log0,02 (log2 (3x +1)) > log0,02 m ⇔ log2 (3x + 1) < m
Xét hàm số f(x) = log2 (3x + 1), ∀ x ∈ (–∞; 0) có H57, ∀ x ∈ (–∞; 0)
Bảng biến thiên f(x):
Khi đó với yêu cầu bài toán thì m ≥ 1.
Bài tập 14. Nghiệm của bất phương trình là
A.
B.
C. x ≤ 1
D.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện
Ta có
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ: 1 + log6 (x2 + 1) ≥ log6 (mx2 + 2x + m).
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: mx2 + 2x + m > 0
Ta có: 1 + log6 (x2 + 1) ≥ log6 (mx2 + 2x + m)
⇔ log6 [6(x2 + 1)] ≥ log6 (mx2 + 2x + m)
⇔ 6(x2 + 1) ≥ mx2 + 2x + m
⇔ (m – 6)x2 + 2x + m – 6 ≤ 0
Điều kiện bài toán
Giải (1): Do m = 0 không thỏa (1) nên
Giải (2): Do m = 6 không thỏa (2) nên:
Suy ra 1 < m ≤ 5 .
Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp
Bất phương trình mũ
Tổng quát:
Ta thường gặp các dạng:
– m․a2f(x) + n․af(x) + p = 0
– m․af(x) + n․bf(x) + p = 0, trong đó a․b = 1. Đặt t = af(x), t > 0. Suy ra
– m․a2f(x) + n․(a․b)f(x) + p․b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt
Bất phương logarit
– Tổng quát:
Bài tập
Bài tập 1. Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 10
B. 9
C. 8
D. 11
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
Phương trình
Đặt thì phương trình trở thành:
Do đó
Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8.
Bài tập 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
A. m ∈ (0; +∞)
B.
C.
D. m ∈ (–∞; 0)
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m + 1) log2 x – 2 < 0 (1)
Đặt t = log2 x .Vì x ∈ nên . Do đó t ∈
(1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 <0 (2)
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc
Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ
f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2
Khi đó cần
Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0
Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được
Bài tập 3. Cho bất phương trình: 9x + (m – 1)․3x + m > 0 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀ x > 1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Đặt t = 3x
Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2 + (m – 1)․t + m > 0 nghiệm đúng ∀ t ≥ 3
nghiệm đúng ∀ t > 3
Xét hàm số
Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và
Yêu cầu bài toán tương
Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng (256; +∞)
A. 7
B. 10
C. 8
D. 9
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
Với điều kiện trên bất phương trình trở thành H95
Đặt t = log2 x thì t > 8 vì x ∈ (256; +∞)
Đặt
Yêu cầu bài toán
Xét hàm số trên khoảng (8; +∞)
Ta có
⇒ f(t) luôn nghịch biến trên khoảng (8; +∞)
Do đó
Mà m ∈ [0; 10] nên m ∈ {3; 4; …; 10}.
Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.
A m ≥ 6
B m > 6
C m ≤ 6
D m < 6
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện của bất phương trình: x > 0
Ta có log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m ⇔ log2 (5x – 1)․[1+ log2 (5x – 1)] ≥ m (1)
Đặt t = log2 (5x – 1), với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó (1) trở thành m ≤ t2 + t (2)
Xét hàm số f(t) = t2 + t trên [2; +∞) ta có f’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞).
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6.
Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?
A. 6
B. 4
C. 9
D. 1
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện x2 – 3x + m ≥ 0 (*)
Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn (*).
Bài tập 7. Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.
A. 7
B. 8
C. 9
D. 6
Lời giải
Chọn A
Điều kiện của bất phương trình là x > 0.
Khi đó:
Đặt t = log2 x. Ta có:
Trả lại ẩn ta có .
Kết hợp với điều kiện x > 0 ta có hoặc hoặc x > 2
Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + (m – 1)․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?
A. m ≤ 3
B. m ≥ 1
C. –1 ≤ m ≤ 4
D. m ≥ 0
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình ⇔ m․4x + 4(m – 1)․2x + m – 1 > 0 ⇔ m(4x + 4․2x + 1) > 1 + 4․2x
⇔
Đặt 2x = t (t > 0). Khi đó .
Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0.
Đặt
Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f (0) = 1
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m(2x + 1) > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝ
A. m ∈ (–∞; 0]
B. m ∈ (0; +∞)
C. m ∈ (0; 1)
D. m ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞)
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Đặt 2x = t (t > 0). Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ (0; +∞)
Đặt
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.
Bài tập 10. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
A. m ∈ (0; +∞)
B.
C.
D. m ∈ (–∞; 0)
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m – 1) log2 x – 2 < 0 (1)
Đặt t = log2 x. Vì nên . Do đó t ∈
(1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 < 0 (2)
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc
Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ
f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2
Khi đó cần
Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0
Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được
Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:
A. 12,3
B. 12
C. 12,1
D. 12,2
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: 0 < x ≠ 1.
Ta có 24x6 – 2x5 + 27x4 – 2x3 + 1997x2 + 2016
= (x3 – x2)2 + (x3 – 1)2 + 22x6 + 26x4 +1997x2 + 2015 > 0, ∀x
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với
Đặt , ta có bất phương trình
Đặt . Ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 có nghiệm thực.
A. m ≥ 2
B. m ≤ 3
C. m ≤ 5
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn D
Ta có 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 ⇔ (2x)2 – 2m․2x + 3 – 2m ≤ 0
Đặt 2x = t (t > 0)
Ta có bất phương trình tương đương với
Xét trên (0; +∞)
Bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1.
Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ (1; 64).
A. m ≤ 0
B. m ≥ 0
C. m < 0
D. m > 0
Lời giải
Chọn B
Ta có
Đặt log2 x = t, khi x ∈ (1; 64) thì t ∈ (0; 6)
Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –t2 –t (*)
Xét hàm số f(t) = –t2 –t với t ∈ (0; 6)
Ta có f’(t) = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ (0; 6)
Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ (1; 64) khi và chỉ khi bất phương trình (*) đúng với mọi t ∈ (0; 6) ⇔ m ≥ 0.
Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞)?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định
Hàm số xác định trên [32; +∞)
Đặt t = log2 x. Khi x ≥ 32, ta có miền giá trị của t là [5; +∞).
Bất phương trình có dạng:
Xét hàm số trên [5; +∞) có nên hàm số nghịch biến trên [5; +∞)
Do và f (5) = 3 nên ta có 1 < f(t) ≤ 3
Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞) khi và chỉ bất phương trình có nghiệm duy nhất trên [5; +∞)
Khi đó: . Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn.
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?
A. 6
B. 4
C. 9
D. 1
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: x2 + 3x + m ≥ 0 (*)
Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn (*).
Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5x – 1)․log2 (2․5x – 2) ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.
A. m ≥ 6
B. m > 6
C. m ≤ 6
D. m < 6
Lời giải
Chọn C
Điều kiện của bất phương trình: x > 0
Ta có log2 (5x – 1)․log2 (2․5x – 2) ≥ m ⇔ log2 (5x – 1)․[1 + log2 (5x – 1)] ≥ m (1)
Đặt t = log2 (5x – 1), với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó (1) trở thành m ≤ t2 + t (2)
Xét hàm số f(t) = t2 + t trên [2; +∞) ta có f’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞)
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6
Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + (m – 1)․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?
A. m ≤ 3
B. m ≥ 1
C. –1 ≤ m ≤ 4
D. m ≥ 0
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình ⇔ m․4x + 4(m – 1)․2x + m – 1 > 0 ⇔ m (4x + 4․2x + 1) > 1 + 4․2x
⇔
Đặt 2x = t (Điều kiện t > 0 ).
Khi đó
Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0
Đặt
Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f (0) = 1
Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m(2x + 1) > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝ
A. m ∈ (–∞; 0]
B. m ∈ (0; +∞)
C. m ∈ (0; 1)
D. m ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞)
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Đặt t = 2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ (0; +∞)
Đặt
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.
Dạng 3: Phương pháp Logarit hóa
Phương pháp
Với bất phương trình
Bài tập
Bài tập 1. Nghiệm của bất phương trình là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
Bài tập 2. Bất phương trình có tập nghiệm là (–∞; –b) ∪ (–a; a). Khi đó b – a bằng
A. log2 5
B.
C. 1
D. 2 + log2 5
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có
Do đó
Bài tập 3. Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn [–2018; 2018] sao cho bất phương trình sau đúng với mọi x ∈ (1; 100):
A. 2018
B. 4026
C. 2013
D. 4036
Lời giải
Chọn A
Do x ∈ (1; 100) ⇒ log x ∈ (0; 2). Do đó
Đặt t = log x , t ∈ (0; 2)
Xét hàm số
Do đó
Để đúng với mọi x ∈ (1; 100) thì
Do đó hay có 2018 số thỏa mãn.
Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu
Phương pháp
– Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên D thì f(u) > f(v) ⇔ u > v, ∀ u,v ∈ D
– Nếu hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên D thì f(u) > f(v) ⇔ u < v, ∀ u,v ∈ D
Bài tập
Bài tập 1. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 6
B. 4
C. 5
D. 3
Lời giải
Chọn B
Đặt a = 2x2 – 15x + 100; b = x2 + 10x – 50 ta có bất phương trình:
2a – 2b + a – b < 0 ⇔ 2a + a < 2b + b ⇔ a < b
(do hàm số y = 2x + x là hàm số đồng biến trên ℝ)
Với a < b ⇔ 2x2 – 15x + 100 < x2 + 10x – 50 ⇔ x2 – 25x + 150 < 0 ⇔ x ∈ (10; 15).
Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Bài tập 2. Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình log3 (x2 + x + 1) + 2x3 ≤ 3x2 + log3 x + m – 1 (ẩn x) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
A. m = 3
B. m = 2
C. m = 1
D. m = –1
Lời giải
Chọn B
log3 (x2 + x + 1) + 2x3 ≤ 3x2 + log3 x + m – 1 (1)
Điều kiện x > 0
Xét , với x > 0
Với x ∈ (0; 1) ⇒ f’(x) < 0; với x ∈ (1; +∞) ⇒ f’(x) > 0
Vậy bất phương trình có ít nhất hai nghiệm ⇔ m – 1 > 0 ⇔ m > 1. Vậy m = 2.
Bài tập 3. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2 – x + 2 + a․ln (x2 – x + 1) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a ∈ (2; 3]
B. a ∈ (8; +∞)
C. a ∈ (6; 7]
D. a ∈ (–6; –5]
Lời giải
Chọn C
Đặt suy ra
Bất phương trình x2 – x + 2 + a․ln (x2 – x + 1) ≥ 0 ⇔ t + a․ln t + 1 ≥ 0 ⇔ a․ln t ≥ –t – 1
Trường hợp 1: t = 1 khi đó a․ln t ≥ –t – 1 luôn đúng với mọi a.
Trường hợp 2:
Ta có
Xét hàm số
Do đó
Trường hợp 3: t > 1
Ta có
Xét hàm số
Xét hàm số
Vậy g(t) = 0 có tối đa một nghiệm.
Vì g (1) = –2; vậy g(t) = 0 có duy nhất một nghiệm trên (1; +∞)
Do đó f’(t) = 0 có duy nhất một nghiệm là t0 . Khi đó suy ra f (t0) = –t0
Bảng biến thiên
Vậy
Vậy
Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a ∈ (6; 7]
Bài tập 4. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm là với a, b là các số nguyên dương và tối giản. Tổng S = a + b là:
A. S = 13
B. S = 15
C. S = 9
D. S = 11
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Xét
Do nên hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi cos2 x = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ
Vậy .
Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi hay
Bài tập 5. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm?
A. m ≤ 4
B. m ≥ 4
C. m ≤ 1
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn A
Chia hai vế của bất phương trình cho , ta được
Xét hàm số là hàm số nghịch biến.
Ta có: 0 ≤ sin2 x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4. Chọn đáp án A
Bài tập 6. Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình log3 (x2 + x + 1) + 2x3 ≤ 3x2 + log3 x + m – 1 (ẩn x) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
A. m = 3
B. m = 2
C. m = 1
D. m = –1
Lời giải
Chọn B
log3 (x2 + x + 1) + 2x3 ≤ 3x2 + log3 x + m – 1 (1)
Điều kiện x > 0
Xét , với x > 0
Với x ∈ (0; 1) ⇒ f’(x) < 0; với x ∈ (1; +∞) ⇒ f’(x) > 0.
Vậy bất phương trình có ít nhất hai nghiệm ⇔ m – 1 > 0 ⇔ m > 1. Vậy m = 2.
Bài tập 7. Biết tập nghiệm của bất phương trình là (a; b). Khi đó tổng a + 2b bằng?
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
Dễ đánh giá
Bảng biến thiên:
Có f (0) = f (1) = 3 và dựa vào bảng biến thiên ta có f(x) < 3 ⇔ x ∈ (0; 1)
Vậy a = 0; b = 1, suy ra a + 2b = 2
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a (a > 0) thỏa mãn
A. 0 < a < 1
B. 1 < a < 2017
C. a ≥ 2017
D. 0 < a ≤ 2017
Lời giải
Chọn D
Ta có
Xét hàm số
Ta có
Nên y = f(x) là hàm giảm trên (0; +∞)
Do đó f (a) ≤ f (2017), (a > 0) khi 0 < a ≤ 2017
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ (1; 64).
A. m ≤ 0
B. m ≤ 0
C. m < 0
D. m > 0
Lời giải
Chọn B
Ta có ⇔ (log2 x)2 + log2 x + m ≥ 0
Đặt log2 x = t, khi x ∈ (1; 64) thì t ∈ (0; 6)
Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⟺ m ≥ –t2 – t (*)
Xét hàm số f(t) = –t2 –t với t ∈ (0; 6)
Ta có f’(t) = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ (0; 6)
Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ (1; 64) khi và chỉ khi bất phương trình (*) đúng với mọi t ∈ (0; 6) ⇔ m ≥ 0.
Bài tập 10. Giả sử S = (a; b] là tập nghiệm của bất phương trình . Khi đó b – a bằng?
A.
B.
C.
D. 2
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
Giải hệ (I):
Giải (1):
Xét hàm số với x ∈ (0; 3]
Ta có , ∀ x ∈ (0; 3]
Lập bảng biến thiên
Vậy , ∀ x ∈ (0; 3]
Xét bất phương trình (2):
Vậy nghiệm của hệ (I) là
Hệ (II) vô nghiệm.
Vậy
Bài tập 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-9; 9) của tham số m để bất phương trình có nghiệm thực?
A. 6
B. 7
C. 10
D. 11
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
Bất phương trình đã cho tương đương
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
Vì vậy
Khảo sát hàm số trên (0; 1) ta được
Vậy m có thể nhận được các giá trị {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.
Tài liệu PDF
Trọn bộ tài liệu về bất phương trình logarit, bất phương trình mũ. Bạn có thể xem trực tuyến hoặc tải đầy đủ file về theo đường dẫn bên dưới nhé.
Thông tin tài liệu
Tác giả | Thầy Trọng |
Số trang | 99 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu
– Dạng 1: Bất phương trình mũ cơ bản
– Dạng 2: Bất phương trình mũ đặt ẩn phụ
– Dạng 3: Bất phương trình mũ chứa tham số
– Dạng 4: Bất phương trình logarit cơ bản
– Dạng 5: Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ
– Dạng 6: Bất phương trình logarit chứa tham số